Cara Menyatakan Himpunan

Cara Menyatakan Himpunan

PENGERTIAN

Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang keanggotaannya didefinisikan dengan jelas.

Contoh:

·         Himpunan siswi kelas III SMU Tarakanita tahun 1999-2000 yang nilai IQ-nya diatas 120.

·         Himpunan bilangan-bilangan bulaT diantara 10 dan 500 yang habis dibagi 7

Himpunan hanya membicarakan objek-objek yang berlainan saja.

Metode Roster

yaitu dengan menuliskan semua anggota himpunan di dalam

tanda kurung {...........}

contoh: himpunan bilangan ganjil N = {1,3,5,7,9,.......}

Metode Rule

yaitu dengan menyebutkan syarat keanggotaannya

contoh: N = {xx adalah bilangan asli}

Binonium Newton

Binonium Newton

Binonium Newton adalah uraian binonium (suku dua) dengan rumus :

(x+y)ⁿ = _nC₀Xⁿ + _nC₁X^n-1y + ....... + _nC_nyⁿ

Rumus ini dapat dibuktikan dengan induksi lengkap.

_nC_o = 1

_nC₁ = n!/1!(n-1)! = n

_nC₂ = n! / 2!(n-2)! = n(n-1)/1.2

_nC_n-1 = _nC1 = n/1 = n

_nC_n = 1

Catatan:

·         banyaknya suku ruas kanan adalah n + 1

·          

·         rumus tersebut dapat juga ditulis sebgai berikut :

·         _{n n}

·         (x+y)ⁿ =  _nC_k x^n-k y^k =  (n! / k! (n-k)!) x^n-k y^k

·         ^{k=0 k=0}

·          

·         Jika n kecil, koefisien binonium dapat dicari dengan segitiga pascal

Bentuk-Bentuk Simetris Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Bentuk-Bentuk Simetris Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Suatu bentuk aljabar disebut simetris, seperti x² + y², jika x dan y dipertukarkan tempatnya menjadi y² + x², maka nilainya sama dengan bentuk semula.

Dalam hal ini kita merubah bentuk yang diberikan menjadi bentuk (X1+X2) atau (X1.X2)

1. X1² + X2²	= (X1 + X2)² - 2X1.X2 = (-b/a)² + 2(c/a)
2. X1³ + X2³	= (X1+X2)³ - 3X1X2(X1+X2) = (-b/a)³ - 3(c/a)(-b/a)
3. X14 + X24	=(X1²+X2²)² -(X1²X2²)=[(X1+X2)² - 2X1X2]² -2(X1X2)²
	=[(-b/a)² - 2(c/a)]² - 2(c/a)²
4. X1²X2 + X1X2²	= X1X2(X1+X2) = c/a (-b/c)
5. 1/X1 + 1/X2	= (X1+X2)/X1+X2 = (-b/a)/(c/a)  = -b/c
6. X1/X2 + X2/X1	= (X1²+X2²)/X1X2 = ((X1+X2)²-2X1X2)/X1X2
7. (X1-X2)²	= (X1+X2)² - 4X1X2 atau [D/a]² = D/a²
8. X1² - X1²	= (X1+X2)(X1-X2)  = (-b/a)(D/a)

Bedakan Istilah

Jumlah Kuadrat : (X1²+X2²)

dengan

Kuadrat Jumlah (X1+X2)²

Bentuk-Bentuk Persamaan Garis

Rumus Bangun Ruang

Batasan dan Sifat-Sifat

Batasan dan Sifat-Sifat

BATASAN

Logaritma bilangan b dengan bilangan pokok a sama dengan c yang memangkatkan a sehingga menjadi b.

^a log b = c  a^c = b  mencari pangkat

Ket : a = bilangan pokok (a > 0 dan a  1)

b = numerus (b > 0)

c = hasil logaritma

Dari pengertian logaritma dapat disimpulkan bahwa :

^alog a = 1 ; ^alog 1 = 0 ; ^alog aⁿ = n

SIFAT-SIFAT

1. ^alog bc = ^alogb + ^alogc

2. ^alog bc = c ^alog b

3. ^alog b/c = ^alog b -^alog c  Hubungan ^alog b/c = - ^a log b/c

4. ^alog b = (^clog b)/(^clog a)  Hubungan ^alog b = 1 / ^blog a

5. ^alog b. ^blog c = ^a log c

6. a ^alog b = b

7. ^alog b = c  ^aplog b^p = c  Hubungan : ^aqlog b^p = ^alog b^p/q

= p/q ^alog b

Keterangan:

Bila bilangan pokok suatu logaritma tidak diberikan, maka maksudnya logaritma tersebut berbilangan pokok = 10.

[ log 7 maksudnya ¹⁰log 7 ]

logⁿx adalah cara penulisan untuk (logx)ⁿ

Bedakan dengan log xⁿ = n log x

Contoh:

Tentukan batas nilai agar log (5 + 4x - x²) dapat diselesaikan !

syarat: numerus > 0
	x² -4x - 5 < 0
	(x-5)(x+1) < 0	-1< x < 5

Sederhanakan

2     ³ log 1/9 + ⁴log 2 = 2(-2) + 1/2          =

³log 2. ²log 5 .⁵²log 3        ³log 2.²log 5. ^5²log3

- 3 1/2 = -3 1/2 = -7

³log 3^1/2      1/2

Jika ⁹log 8 = n Tentukan nilai dari ⁴log 3 !

⁹log 8 = n

^3²log 2³ = n

3/2 ³log 2 = n

³log 2 = 2n

3

⁴log 3 = ^2²log 3

= 1/2 ²log 3

= 1/2 ( 1/(³log 2) )

= 1/2 (3 / 2n)

= 3/4n

4. Jika log (a² / b⁴) Tentukan nilai dari log ³(b²/a) !

log (a²/b⁴) =-24

log (a/b²)² =-24

2 log ( a/b²) =-24

log ( a/b² )=-12

log ³(b²/a)= log (b²/a)^1/3 = 1/3 log (b² / a) = -1/3 log (a/b²) = -1/3 (-12) = 4

Barisan dan Deret Geometri

Barisan dan Deret Geometri (Ukur / Kali)

BARISAN GEOMETRI

U₁, U₂, U₃, ......., U_n-1, U_n disebut barisan geometri, jika

U₁/U₂ = U₃/U₂ = .... = U_n / U_n-1 = konstanta

Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r)

Rasio r = U_n / U_n-1

Suku ke-n barisan geometri

a, ar, ar² , .......ar^n-1

U₁, U₂, U₃,......,U_n

Suku ke n U_n = ar^n-1  fungsi eksponen (dalam n)

DERET GEOMETRI

a + ar² + ....... + ar^n-1 disebut deret geometri

a = suku awal

r = rasio

n = banyak suku

Jumlah n suku

Sn = a(rⁿ-1)/r-1 , jika r>1

= a(1-rⁿ)/1-r , jika r<1  Fungsi eksponen (dalam n)

Keterangan:

Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap

Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku

U_n > U_n-1

Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku

U_n < U_n-1

Bergantian naik turun, jika r < 0

Berlaku hubungan U_n = S_n - S_n-1

Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah

_______ __________

Ut = Ö U₁xU_n = Ö U₂ X U_n-1 dst.

Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar

DERET GEOMETRI TAK BERHINGGA

Deret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari

U₁ + U₂ + U₃ + ..............................



 Un = a + ar + ar² .........................

n=1

dimana n  dan -1 < r < 1 sehingga rⁿ  0

Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat :

Jumlah tak berhingga S_ = a/(1-r)

Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r < 1

Catatan:

a + ar + ar² + ar³ + ar⁴ + .................

Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil

a+ar² +ar⁴+ ....... S_ganjil = a / (1-r²)

Jumlah suku-suku pada kedudukan genap

a + ar³ + ar⁵ + ...... S_genap = ar / 1 -r²

Didapat hubungan : S_genap / S_ganjil = r

PENGGUNAAN

Perhitungan BUNGA TUNGGAL (Bunga dihitung berdasarkan modal awal)

M₀, M₁, M₂, ............., M_n

M₁ = M₀ + P/100 (1) M₀ = {1+P/100(1)}M₀

M₂ = M₀ + P/100 (2) M₀ = {1+P/100(2)} M₀

.

.

.

.

M_n =M₀ + P/100 (n) M₀  Mⁿ = {1 + P/100 (n) } M₀

Perhitungan BUNGA MAJEMUK (Bunga dihitung berdasarkan modal terakhir)

M₀, M₁, M₂, .........., M_n

M₁ = M₀ + P/100 . M₀ = (1 + P/100) M₀

M₂ = (1+P/100) M₀ + P/100 (1 + P/100) M₀ = (1 + P/100)(1+P/100)M₀

= (1 + P/100)² M₀

.

.

.

Mn = {1 + P/100}ⁿ M₀

Keterangan :

M₀ = Modal awal

M_n = Modal setelah n periode

p = Persen per periode atau suku bunga

n = Banyaknya periode

Catatan:

Rumus bunga majemuk dapat juga dipakai untuk masalah pertumbuhan tanaman, perkembangan bakteri (p > 0) dan juga untuk masalah penyusutan mesin, peluruhan bahan radio aktif (p < 0).

Barisan

Barisan

BARISAN adalah urut-urutan bilangan dengan aturan tertentu.

Suku-suku suatu barisan adalah nilai-nilai dari suatu fungsi yang daerah definisinya himpunan bilangan asli (n = natural = asli)

Contoh:

Un = 2n - 1

adalah suku ke-n dari suatu barisan, dimana n  N = {1,2,3,.....}

Barisan itu adalah : 1,3,5,7,....

Diketahui barisan 1/3 , 1/6 , 1/9

Rumus suku ke-n barisan ini adalah U_n = 1/3n

Barisan dan Deret Aritmatika

Barisan dan Deret Aritmatika (Hitung / Tambah)

BARISAN ARITMATIKA

U₁, U₂, U₃, .......U_n-1, U_n disebut barisan aritmatika, jika

U₂ - U₁ = U₃ - U₂ = .... = U_n - U_n-1 = konstanta

Selisih ini disebut juga beda (b) = b =U_n - U_n-1

Suku ke-n barisan aritmatika a, a+b, a+2b, ......... , a+(n-1)b

U₁, U₂, U₃ ............., U_n

Rumus Suku ke-n :

U_n = a + (n-1)b = bn + (a-b)  Fungsi linier dalam n

DERET ARITMATIKA

a + (a+b) + (a+2b) + . . . . . . + (a + (n-1) b) disebut deret aritmatika.

a = suku awal

b = beda

n = banyak suku

U_n = a + (n - 1) b adalah suku ke-n

Jumlah n suku

Sn = 1/2 n(a+U_n)

= 1/2 n[2a+(n-1)b]

= 1/2bn² + (a - 1/2b)n Fungsi kuadrat (dalam n)

Keterangan:

Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = S_n")

Barisan aritmatika akan naik jika b > 0

Barisan aritmatika akan turun jika b < 0

Berlaku hubungan U_n = S_n - S_n-1 atau Un = S_n' - 1/2 S_n"

Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah

U_t = 1/2 (U₁ + U_n) = 1/2 (U₂ + U_n-1) dst.

S_n = 1/2 n(a+ U_n) = nU_t  U_t = Sn / n

Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan aritmatika, maka untuk memudahkan perhitungan misalkan bilangan-bilangan itu adalah a - b , a , a + b

Warna Benda

Warna Benda

 • Benda yang memantulkan suatu gelombang cahaya tertentu akan berwarna seperti cahaya yang dipantulkannya.

•Dalam ruang yang tidak ada cahaya, semua benda terlihat hitam karena tidak ada cahaya yang datang dan dipantulkan

•Warna primer adalah warna dasar yang dapat dipakai untuk membentuk warna lain, misalnya merah, biru dan hijau.

•Warna sekunder adalah warna campuran dari dua warna primer, misalnya kuning, sian dan magenta.

•Warna komplemen adalah warna yang jika disatukan membentuk warna putih, misalnya hijau + magenta  putih.

Filter Cahaya:

Warna filter cahaya sama dengan warna cahaya yang diteruskannya, sedangkan warna lain diserap oleh filter tersebut.

Warna Filter	Warna yang diteruskan
merah	me + ji
hijau	ku + hi
biru	bi + ni + u
kuning	me + ji + ku + hi
magenta	me + ji + bi + ni + u
sian	ku+hi+bi+ni+u