Barisan dan Deret Geometri

Barisan dan Deret Geometri (Ukur / Kali)

BARISAN GEOMETRI

U₁, U₂, U₃, ......., U_n-1, U_n disebut barisan geometri, jika

U₁/U₂ = U₃/U₂ = .... = U_n / U_n-1 = konstanta

Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r)

Rasio r = U_n / U_n-1

Suku ke-n barisan geometri

a, ar, ar² , .......ar^n-1

U₁, U₂, U₃,......,U_n

Suku ke n U_n = ar^n-1  fungsi eksponen (dalam n)

DERET GEOMETRI

a + ar² + ....... + ar^n-1 disebut deret geometri

a = suku awal

r = rasio

n = banyak suku

Jumlah n suku

Sn = a(rⁿ-1)/r-1 , jika r>1

= a(1-rⁿ)/1-r , jika r<1  Fungsi eksponen (dalam n)

Keterangan:

Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap

Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku

U_n > U_n-1

Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku

U_n < U_n-1

Bergantian naik turun, jika r < 0

Berlaku hubungan U_n = S_n - S_n-1

Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah

_______ __________

Ut = Ö U₁xU_n = Ö U₂ X U_n-1 dst.

Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar

DERET GEOMETRI TAK BERHINGGA

Deret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari

U₁ + U₂ + U₃ + ..............................



 Un = a + ar + ar² .........................

n=1

dimana n  dan -1 < r < 1 sehingga rⁿ  0

Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat :

Jumlah tak berhingga S_ = a/(1-r)

Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r < 1

Catatan:

a + ar + ar² + ar³ + ar⁴ + .................

Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil

a+ar² +ar⁴+ ....... S_ganjil = a / (1-r²)

Jumlah suku-suku pada kedudukan genap

a + ar³ + ar⁵ + ...... S_genap = ar / 1 -r²

Didapat hubungan : S_genap / S_ganjil = r

PENGGUNAAN

Perhitungan BUNGA TUNGGAL (Bunga dihitung berdasarkan modal awal)

M₀, M₁, M₂, ............., M_n

M₁ = M₀ + P/100 (1) M₀ = {1+P/100(1)}M₀

M₂ = M₀ + P/100 (2) M₀ = {1+P/100(2)} M₀

.

.

.

.

M_n =M₀ + P/100 (n) M₀  Mⁿ = {1 + P/100 (n) } M₀

Perhitungan BUNGA MAJEMUK (Bunga dihitung berdasarkan modal terakhir)

M₀, M₁, M₂, .........., M_n

M₁ = M₀ + P/100 . M₀ = (1 + P/100) M₀

M₂ = (1+P/100) M₀ + P/100 (1 + P/100) M₀ = (1 + P/100)(1+P/100)M₀

= (1 + P/100)² M₀

.

.

.

Mn = {1 + P/100}ⁿ M₀

Keterangan :

M₀ = Modal awal

M_n = Modal setelah n periode

p = Persen per periode atau suku bunga

n = Banyaknya periode

Catatan:

Rumus bunga majemuk dapat juga dipakai untuk masalah pertumbuhan tanaman, perkembangan bakteri (p > 0) dan juga untuk masalah penyusutan mesin, peluruhan bahan radio aktif (p < 0).