Integral Tak Tentu

Integral Tak Tentu

1. RUMUS

FUNGSI ALJABAR

 xⁿ dx = ¹/_n+1 xⁿ⁺¹ + c ; n -1

FUNGSI TRIGONOMETRI

 sin x dx = - cos x + c

 cos x dx = sin x + c

sifat-sifat:

a. c f(x) dx = c  f(x) dx

b.  ( f(x) ± g(x) ) dx =  f(x) dx ±  g(x) dx

c. jika  f(x) dx = F(x) + c

maka  f(ax) dx = 1/a F(ax) + c

 f(ax+b) dx = 1/a F(ax+b) + c

Perluasan :

 (ax + b)ⁿ dx = 1/a 1/(n+1) (ax + b)ⁿ⁺¹ + c

 sin (ax + b) dx = -1/a cos (ax + b) + c

 cos (ax + b) dx = 1/a sin (ax + b) + c

CARA MENGINTEGRIR

a. SUBSTITUSI

I =  f(x) dx

substitusi : x = Q(u) ; dx = Q`u) du

I =  f(Q(u)) Q`(u) du

jika ruas kanan telah diintegrir, subtitusi kembali dengan fungsi invers dari x = Q(u)

(ket : Prinsipnya adalah merubah variabel sehingga rumus dapat digunakan)

b. SUBSTITUSI TRIGONOMETRI

1. Bentuk  a² - x²

misalkan x = a sin q  q = arc sin x/a

dx = a cos q dq

  a2 - x2 dx = a   1 - sin²q (a cos q dq)

= a²  cos²q dq

= ½a²  (1 + cos²q) dq

= ½a² (q + sinq cosq) + c

= ½a²  [arc sin x + x a² - x² ] + c

                                          a      a    a

  a² - x² dx = ½ a² arc sin x/a + ½ x  a² - x² + c

2. Bentuk  a² + b²x²

Gunakan substitusi : x = a/b tgq

dx = a/b sec²q dq

3. Bentuk  b^2x2 - a²

Gunakan substitusi : x = a/b secq

dx = a/b tgq sec²q

c. PARSIAL

Yaitu mengenai integral dari suatu bentuk yang merupakan hasil perkalian antara suatu fungsi x dengan turunan dari suatu fungsi x yang lain.

I =  f(x) g(x) dx

Misalkan : u = f(x) ; dv = g(x) dx

du = ..... dx ; v =  g(x) dx = ..... maka :

 u du = u v -  v du

Pemisalan dibuat sedemikian sehingga bentuk  v du jadi lebih mudah

Untuk hal-hal khusus dapat digunakan cara TABULASI

Hubungan Antar Himpunan

Hubungan Antar Himpunan

Himpunan bagian notasi : atau 

Himpunan A adalah himpunan bagian himpunan B,jika setiap anggota A adalah anggota B.

Ditulis : A  Bf atau B  A

contoh:

A={a,b}; B={a,b,c}; C={a,b,c,d}

maka A  B ; A  C ; B  C

ketentuan :

·         himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari sembarang

·         himpunan (   A )himpunan A adalah himpunan bagian dari

·         himpunan A sendiri ( A A)jika anggota himpunan A ada sebanyak n, maka banyaknya himpunan bagian dari A adalah HB = 2n

HB = 2n

contoh:

jika A = {a,b,c}

maka himpunan bagian dari A adalah :

{a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c} dan 

seluruhnya ada 2³ = 8

POWER SET 2s

himpunan yang elemennya adalah himpunan-himpunan bagian dari S

contoh:

S = {a,b,c}

2s = { {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c},  }

Himpunan sama ttttttttttt notasi : =

Dua himpunan A dan B adalah sama, jika setiap elemen A adalah elemen B, dan setiap elemen B adalah elemen A.

Ditulis A = B

contoh:

K = {x | x²-3x+2=0}

L = {2,1}

maka K = L

Himpunan lepas ttttttttttt notasi : //

Dua himpunan A dan B disebut saling lepas, jika himpunan A tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan B.

Ditulis A // B

contoh:

A = {a,b,c}

B = {k,l,m}

Maka A // B

Histogram dan Poligon Frekuensi

Histogram dan Poligon Frekuensi

HISTOGRAM dan POLIGON FREKUENSI adalah dua grafik yang menggambarkan distribusi frekuensi.

HISTOGRAM terdiri dari persegi panjang yang alasnya merupakan panjang kelas interval, sedangkan tingginya sama dengan frekuensi masing-masing kelas interval.

POLIGON FREKUENSI adalah suatu garis putus putus yang menghubungkan titik tengah ujung batang histogram. Biasanya ditambah dua segmen garis lain yang menghubungkan titik tengah ujung batang pertama dan terakhir dengan titik tengah kelas yang paling ujung dimana frekuensinya bernilai nol.

Contoh:

Buatlah histogram clan poligon frekuensi dari distribusi frekuensi di bawah ini.

                         

Tinggi	Frekuensi
151 - 155	5
156 - 160	20
161 - 165	42
166 - 170	26
171 - 175	7
Jumlah	100

FUNGSI INVERS

Hal-Hal Khusus

FUNGSI ASAL	FUNGSI INVERS
f(x) = ax+b ; a  0	f-(x) = (x-b)/a ; a  0
f(x) = (ax+b)/(cx+d) ; x  -d/c	f-(x) = (-dx+b)/(cx-a) ; x  a/c
f(x) = ax² + bx + c ; a  0	f-(x) = (-b+(b²-4a(c-x))/2a ; a  0
f(x) = a log cx ; a > 0  1 ; cx>0	f-(x) = ax/c ; c  0
f(x) = acx ; a > 0  1	f-(x) = alog x/c = /c alog x ; c0

Keterangan : fungsi invers ini ada, jika syarat-syaratnya terpenuhi

Fungsi kuadrat secara umum tidak mempunyai invers, tetapi dapat mempunyai invers jika daerah definisinya dibatasi.

f(x) = x² untuk X > 0  f^-(x) = x untuk X > 0

(g o f)^- (x) = (f^- o g^-)(x)

contoh:

Tentukan diagram fungsi di bawah ini ada inversnya atau tidak

Tentukan grafik di bawah ini mempunyai invers/tidak !

CARA MENENTUKAN SUATU GRAFIK MEMPUNYAI INVERS/TIDAK

Tarik sembarang garis sejajar sumbu x, bila memotong grafik hanya di satu titik, maka grafik tersebut mempunyai invers. Bila tidak demikian, maka grafik tersebut tidak mempunyai invers

Diketahui f: R  R

f(x) = 2x - 3

Tentukan f^- (x) !

Jawab:

f one one onto

sehingga f mempunyai invers

misalkan y = image dari x

y = f(x)

y = 2x-3 (yang berarti x = f^-(y))

x = (y+3)/2

f^-(x) = (x+3)/2

Diketahui f: A  B

f(x) = (x - 2)/(x - 3)

dengan A = {R - {3}} dan B = {R - {-}}

(baca: A adalah himpunan bilangan riil kecuali 33)

Tentukan f^-(x)

Jawab:

y = (x - 2)/(x - 3)

y(x - 3) = x - 2

yx - 3y = x - 2

x(y - ) = 3y - 2

x = (3y - 2)/(y - )  f^-(x) = (3x - 2)/(x - )

Gradien

Gradien

Tempat kedudukan titik-titik (x,y) sehingga terdapat hubungan linier

ax + by + c = 0 merupakan suatu garis lurus

Bentuk ax + by +c = 0 (implisit) dapat ditulis dalam bentuk

y = mx + n (eksplisit)

dengan m = -a/b dan n = -c/b ; (b ¹ 0)

Ket : nilai m dan n ini mempunyai arti penting dalam menentukan grafik garis lurus.

m disebut koefisien arah (gradien) garis

m = tan a , dimana a adalah sudut yang dibentuk garis dengan sumbu x positif (berlawanan arah dengan jarum jam)

0° < a < 90° ® tan a = +

90° < a < 180° ® tan a = -

n = panjangan potongan terhadap sumbu y dihitung dari pusat sumbu koordinat

Garis Lurus dan Parabola

Garis Lurus dan Parabola

Misalkan :

Garis lurus : y = mx + n ...(1)

Parabola : y = ax² + bx + c ... (2)

Koordinat titik potong garis lurus dan parabola di atas merupakan nilai x dan y yang memenuhi persamaan (1) dan (2).

Didapat : mx + n = ax² + bx + c

ax² + (b - m)x + ( c - n ) = 0 ® merupakan Persamaan Kuadrat dalam x.

Garis dan Bidang

Fungsi Linier Pada Poligonal

Fungsi Linier Pada Poligonal

Kita bermaksud mencari nilai (khususnya maksimum/minimum) suatu fungsi Linier

f (x, y) = px + qy

dimana (x,y), memenuhi syarat-syarat sebagai berikut

ax + by  c

dx + ey  f

px + qy  r

Hal di atas sama saja dengan mencari nilai maksimum/minimum suatu fungsi linier suatu poligonal.

DALIL

Jika f adalah suatu fungsi linier yang didefinisikan di atas suatu poligonal terbatas, maka nilai maksimum / minimumnya dicapai pada titik ekstrimnya (atau di sekitar titik ekstrimnya).

Contoh :

Carilah nilai maksimum dan minimum dari f(x,y) = 2x + Sy

dengan syarat : x + 2y  4

x- y4

x  1

y  -1

Langkah :

 Buatlah poligonalnya dan tentukan titik ekstrimnya.

Sesuai dengan contoh sebelumnya titik ekstrimnya adalah

A(1,-1) ; B(3,-1) ; C(4,0) ; D(1, 3/2 )

Hitung nilai f(x,y) = 2x + 5y pada masing-masing titik ekstrimnya

f(A) = f(1,-1) = 2(1) + 5(-1) = -3

f(B) = f(3,-1) = 2(3) + 5(-1) = 1

f(C) = f (4, 0) = 2(4) + 5(0) = 8

f(D) = f (1, ; ) = 2(1) + 5( 3/2 ) = 9 1/2

Maka f(x,y) = 2x + Sy dengan batasan di atas mempunyai

- Nilai maksimum = 9 1/2 yang dicapai pada titik D (1, 3/2).

- Nilai minimum = -3 yang dicapai pada titik A (1,-1).

Fungsi Invers

Fungsi Invers

f : A  B

Bila b B, maka invers dari elemen b (dinyatakan dengan f^-1 (b)) adalah elemen A yang mempunyai pasangan b, atau

f^-1 (b) = {x  x  A, f(x) = b}

Jika f adalah fungsi dari A  B, maka f mempunyai fungsi invers f^-1 :A  B jika dan hanya jika f adalah one one onto / bijektif / korespondensi 1-1

ket : f : y = f(x) cara mencari fungsi invers f^-1 : x = f(y) nyatakan x dalam y

TEOREMA

f : A  B dan f^-1 : B  A

f^-1 o f : A  A : fungsi indentitas di A

f f^-1

A  B A

(f^-1  f)

f o f^-1 : B  B : fungsi identitas di B

f^-1

B  A  B

(f o f^-1)